Rutes matemàtiques
Aquesta ruta us convida a explorar monuments, places i racons històrics de Tortosa, on la geometria, les proporcions, l’estadística i el càlcul prendran vida davant els vostres ulls de la mà de la reconeguda matemàtica Griselda Pascual.
Per realitzar la ruta i aconseguir la vostra calculadora, cal que us adreceu a:
Rambla Felip Pedrell, 3
43500 Tortosa
OT.TERRESEBRE@GENCAT.CAT
977 449 648
Com arribar-hi: Bus: 1, 2 i 3
Horari d’atenció: De dilluns a dissabte de 10 a 13.30 h i de 15.30 a 18.30 h i diumenges de 10 a 13.30 h.
Distància: 3 km.
Desnivell: Majoritàriament pla.
Durada estimada: 40 minuts de recorregut a peu.
Època recomanada: Tot l’any.
Graus de dificultat: * Baixa | ** Mitjana | *** Alta
A continuació, les localitzacions, pistes i materials necessaris per completar l’experiència.
El Carrilet de Tortosa era el que unia Tortosa amb la Cava (actualment Deltebre) i, més tard, també amb Amposta i altres pobles del Delta de l’Ebre. Va començar a funcionar a principis del segle XX i va ser molt important per al transport de persones, arròs i mercaderies entre la ciutat i el Delta.
El recorregut total del Carrilet era de 27 km i la seva velocitat era de 40 km/h.
Si no feia cap parada trigava més o menys d’una hora en fer el recorregut?
Quants minuts trigava sense fer parades?
Per calcular el temps cal dividir la distància recorreguda entre la velocitat a la que va el tren. Pensa que el resultat estarà en hores.
40 km/h vol dir que recórrer 40 km cada hora. Per tant, trigava menys d’una hora en fer 27 km.
Concretament, 0,675 h que multiplicat per 60 minuts que té una hora ens dona 40,5 minuts.
t = \frac{distància}{velocitat} = \frac{27km}{40km/h}= 0,65 h = 40,5 min.
El recorregut total del Carrilet era de 27 km i la seva velocitat era de 40 km/h. La Cava era la catorzena parada.
Si en cada estació feia una parada de 5 minuts, quantes hores, minuts i segons trigava en fer el recorregut complet?
Per calcular el temps cal dividir la distància recorreguda entre la velocitat a la que va el tren.
Entre Tortosa i la Cava, el tren feia 12 parades.
temps = (distància ( 27Km) + 5 minuts x 12 parades)/velocitat (40km/h)
27 Km ÷ 40 Km/h =0,675 h. 0,675 x 60 = 40,5 minuts
5 minuts x 12 parades = 60 minuts a les parades
40,5 minuts + 60 minuts = 100,5 minuts= 1 hora, 40 minuts i 30 segons
El Pont Roig de Tortosa és un dels ponts més emblemàtics de la ciutat. Travessa el riu Ebre i uneix el centre de Tortosa amb el barri de Ferreries. Es va construir a principis del segle XX per al tren conegut com el Carrilet de la Cava.
Quan el tren va deixar de funcionar, el pont es va adaptar per a vianants i bicicletes, i avui forma part de la Via Verda de la Val de Zafán. El seu color vermell característic i la seva estructura metàl·lica el converteixen en un símbol molt reconegut de Tortosa.
Des del Pont Roig pots veure el monument a la Batalla de l’Ebre i el Pont de l’Estat. El monument es recolza sobre un pilar. El Pont de l’Estat, sobre dos pilars i, el Pont Roig, sobre tres.
Si hi haguessin dos ponts més seguint aquesta successió de pilars, quants pilars hi hauria en total al riu?
Seguint la successió de pilars, el quart pont tindria 4 pilars i el cinquè pont en tindria cinc.
1+2+3+4+5=15 pilars.
Des del Pont Roig es poden veure el monument a la Batalla de l’Ebre i el Pont de l’Estat: el monument està recolzat sobre un pilar, el Pont de l’Estat sobre dos i el Pont Roig sobre tres.
Si es construïssin dos ponts més seguint aquesta successió, quants pilars hi hauria en total al riu? I si hi haguessin 10 ponts creuant-lo, quants pilars caldrien?
Podries trobar una fórmula general per calcular el nombre de pilars en funció de n ponts?
Seguint la successió de pilars, el quart pont tindria 4 pilars i el cinquè pont en tindria cinc, el sisé, sis… i així successivament.
Si hi haguessin 5 ponts hi hauria 1+2+3+4+5 = 15 pilars.
Si hi haguessin 10 ponts hi hauria (10 x 11) ÷ 2 = 55 pilars.
Com ho hem fet? Seguint el que va fer Gaus.
Si hem de sumar 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 i ens adonem que 1 + 10= 11; 2 + 9 = 11; 3 + 8 = 11…
És a dir, sumant el primer amb l’últim, el segon amb el penúltim… tenim 10 vegades el nombre 11. Això havent sumat dues vegades la sèrie que ens demanen.
Només ens cal multiplicar 10 per 11 (110) i dividir-ho entre dos = 5.
Quan una bicicleta travessa el pont, quantes voltes dona cada roda?
Et donem algunes dades:
El pont fa 224 metres de llargària, com que ara és de vianants hi poden passar bicicletes.
El diàmetre d’una roda de bicicleta és de 71 cm.
Calculem el perímetre de la roda: 2 x π x radi o π x diàmetre.
Dividim la longitud del pont pel perímetre de la roda.
Cada roda fa unes cent voltes.
El Mercat de Tortosa és un edifici modernista molt emblemàtic situat a la vora del riu Ebre. Es va inaugurar l’any 1887 i va ser dissenyat per l’arquitecte Joan Abril.
Des de fa més d’un segle, és el punt de trobada de venedors i compradors de la ciutat i de la comarca. Al seu interior s’hi poden trobar productes frescos del camp, del riu i del mar, i és un lloc molt viu i popular
A les pastisseries del mercat es ven el dolç típic de Tortosa, el pastisset. El tradicional és el farcit de cabell d’àngel, però també n’hi ha de xocolata i de brossat (un formatge fresc tipus el mató). Si et compres un pastisset de cada un dels gustos, quantes maneres tens d’escollir l’ordre en que te’ls menges?
Cal trobar totes les combinacions possibles.
Per exemple:
Hi ha 6 maneres d’ordenar-los.
També ho pots fer numèricament:
3 al primer lloc x 2 segons possible x 1 que és l’únic que pot anar en tercer lloc cada cop = 6.
A les pastisseries del mercat es ven el dolç típic de Tortosa, el pastisset. El tradicional és el farcit de cabell d’àngel, però també n’hi ha de xocolata, de brossat (un formatge fresc com el mató) i de taronja.
Si et compres un pastisset de cada un dels gustos, quantes maneres tens d’escollir l’ordre en que te’ls menges? I si hi hagués 8 gustos diferents, de quantes maneres tindries?
Cal trobar totes les combinacions possibles. Per exemple:
cabell d’àngel – brossat – xocolata – taronja
cabell d’àngel – xocolata – brossat – taronja
Amb quatre gustos hi ha 24 maneres d’ordenar-los. Amb vuit gustos hi ha 40.320 maneres d’ordenar-los.
4 x 3 x 2 x 1 = 24 maneres
Tens 4 possibilitats per triar el 1r pastisset. Per cada pastisset que escullis primer podràs escollir 3 pastissets en 2n lloc, 2 en 3r lloc i et quedarà l’últim en 4t lloc.
De la mateixa forma si tens 8 pastissets:
8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320 maneres
D’aquesta seqüència de multiplicacions se’n diu 8 factorial i es representa 8!
En una de les botigues del mercat de Tortosa venen capsetes amb diferents tipus de pastissets. El preu base d’una capsa és de 12 € sense l’IVA del 21%. Durant les festes de la Cinta, a tot el mercat s’aplica un descompte del 15% en tots els productes.
Quina opció creus que surt més barata: aplicar primer l’IVA i després el descompte, o bé aplicar primer el descompte i després l’IVA?
Prova d’aplicar l’IVA del 21% al preu inicial i, un cop obtingut el resultat, calcula-hi el descompte del 15%.
Després fes primer el descompte i afegeix-li l’IVA.
Per aplicar un augment del 21% n’hi ha prou amb multiplicar per 1.21.
Per aplicar un descompta del 15% n’hi ha prou en multiplicar per 0.85.
És indiferent quin percentatge apliquis primer: les dues opcions condueixen al mateix preu final, 12.342 €. Aquesta quantitat és lleugerament superior al preu base.
Per calcular el preu amb IVA podem sumar el preu base i afegir el 21%
12 +12 x 21:100
o, cosa que és el mateix i més ràpid, 12 x 1.21 perquè així surt el preu directe sense el %
per calcular el descompte multiplicarem per 0,85
Fem el descompte al final: 12 x 1.21 (hem afegit l’IVA) x 0.85 (el descompta) = 12.342 €
Fem el descompta al preu inicial: 12 x 0.85 (apliquem el descompte) x 1.21 (afegim l’IVA) = 12.342 €
De fet hem fet dues multiplicacions amb un ordre diferent. La propietat commutativa ens diu que el resultats no varia.
El Palau Capmany és un edifici històric del nucli antic de la ciutat de Tortosa (Baix Ebre), situat al carrer de la Rosa.
Construït originalment al segle XVII i amb reformes importants al segle XVIII ha estat propietat de diverses famílies nobles, com la dels comtes de Vallcabra i el marquès de Capmany. Al llarg del temps ha acollit diferents usos socials i comercials.
Observa la porta del palau.
Quina és la seva alçada en metres?
Compta quantes pedres fa l’alçada de la porta i multiplica-ho per l’alçada d’una pedra.
Una pedra fa, aproximadament 50 cm d’alçada. I la porta fa una alçada d’11 pedres.
Per tant, la porta fa 50 cm x 11 pedres = 550 cm = 5,5 m.
Observa la porta del palau.
Estima quina és la seva àrea en metres quadrats?
L’àrea d’un rectangle es calcula multiplicant la llargada de la base per l’altura. L’àrea d’un cercle es calcula multiplicant el radi al quadrat pel número pi=3,14.
A la calculadora tens el número Pi.
Superfície del rectangle:
Alçada: 11 pedres x 50 cm = 550 cm.
L’amplada de la porta (que és el mateix que el diàmetre de la circumferència) us ha d’haver donat 285 cm, aproximadament. El radi 142,5 cm.
550 cm x 285 cm = 156.750 cm²
Superfície de la semicircumferència:
142,52 x π ÷ 2 = 31.896,98 cm²
Porta sencera:
156.750 cm² + 31.896,98 cm² = 188.646,98 cm² = 18,86 m²
La muralla del Rastre forma part del conjunt de muralles antigues de Tortosa, que protegien la ciutat en època medieval. Aquesta muralla envoltava el barri del Rastre, situat al sud del nucli antic, i connectava amb altres trams defensius que pujaven cap al castell de la Suda.
Es va construir i reforçar entre els segles XIV i XVII, i servia per defensar la ciutat dels atacs i controlar l’accés pel costat del riu. Avui encara se’n poden veure bons trams conservats, que recorden la importància estratègica de Tortosa com a ciutat fortificada.
Si observes les escales que pugen per la muralla veuràs que n’hi ha algunes de ciment i d’altres, més antigues, fetes amb pedres.
Quina fracció de les escales és de cada tipus?
Hi ha 5 blocs de 10 escales de ciment i 6 blocs de 6 escales de roques.
Per trobar la fracció has de dividir el nombre total d’escales de cada tipus entre el nombre d’escales total.
Hi ha 86 graons.
50/86=25/43 d’una mena
i
36/86=18/43 de l’altra.
Si observes les escales que pugen per la muralla veuras que n’hi ha algunes de ciment i d’altres, més antigues, fetes amb pedres. Quin percentatge de les escales és de cada tipus?
Hi ha 5 blocs de 10 escales de ciment i 6 blocs de 6 escales de roques.
Per trobar la fracció has de dividir el nombre d’escales de cada tipus entre el nombre d’escales total i multiplicar els resultats per 100.
50/86 = 25/43 (58%) i 36/86=18/43 = (42%)
Per fer accessible per a persones de mobilitat reduïda caldria que aquest espai tingués una rampa.
Et donarem algunes dades per tal que puguis respondre.
Les guies tècniques recomanen:
Suposant que els graons facin uns 20 cm l’alçada de l’escala seria 20 cm x 86 graons = 1.720 cm.
La norma diu que no pot tenir una inclinació superior al 6 o al 8%
Si agafem el 8% veiem que per pujar una rampa de 17,2 m d’alçada necessitem que la longitud horitzontal de la rampa sigui de 215 m.
Per tant, no es pot fer una rampa accessible per a persones amb mobilitat reduïda.
La Llotja de Tortosa és un dels edificis més destacats de la ciutat. Es va construir al segle XIV, en plena època medieval, i servia com a centre de comerç i trobada de mercaders. En aquell temps, Tortosa era un port fluvial molt actiu al riu Ebre i hi arribaven productes de moltes zones diferents.
Amb els segles, ha tingut diferents usos, però encara conserva la seva bellesa i importància històrica com a símbol del passat comercial de la ciutat. Actualment, és la casa dels gegants.
Els gegants petits, Rufo i Rubí, fan una alçada de 2,5 m i pesen 15 kg.
Si enlloc de 2,5 m mesuressin 5 m, quin pes tindrien?
Si el fem el doble d’alt, també serà el doble d’ample, i el doble de fondo, no?
Lògicament si fem el gegant el doble d’alt, també serà el doble d’ample i el doble de fondària.
Per tant el pes actual, 15 kg, l’hem de multiplicar per 2 (pel doble d’alçada) i per 2 (pel doble d’amplada) i per 2 (pel doble de fondària).
15 x 8 = 120 kg
Els gegants petits, Rufo i Rubí, fan una alçada de 2,5m i pesen 15kg. En canvi, els gegants grans Rufo i Rubí fan una alçada de 4m i pesen 60 kg.
Són proporcionals?
Que siguin proporcionals vol dir que un metro d’un gegant i un metre de l’altre gegant pesen el mateix.
Si són proporcionals el quocient entre el pes i l’alçada de cada parella de gegants ha de ser igual.
Calculem la raó entre en pes i l’alçada per a cada una de les parelles de gegants:
Raó (gegants petits)=15 kg ÷ 2,5 m = 6 kg/m
Raó(gegants grans)=60 kg ÷ 4 m = 15 kg/m
Cada metre dels gegants petit pesa 6 Kg. cada metre dels gegants grans pesa 15 kg
Com que les raons entre el pes i l’alçada en cada parella de gegants són diferents, les parelles de gegants no són proporcionals.
L’edifici actual de l’Ajuntament de Tortosa és un dels més antics i emblemàtics de la ciutat. Es va construir al segle XVI, en estil gòtic tardà amb elements renaixentistes, i des d’aleshores ha estat el seu consistorial de la ciutat.
Va substituir l’antic ajuntament medieval i es va situar a la plaça d’Espanya, a tocar del riu Ebre, en un punt clau de la vida administrativa i comercial. L’edifici destaca per la seva façana de pedra amb arcs gòtics, els escuts i relleus decoratius i les sales nobles de l’interior, que recorden la importància històrica de Tortosa com a capital del Baix Ebre.
Un nombre és palíndrom quan es llegeix igual d’esquerra a dreta que del revés.
Entre les 10:00 i les 17:00 quants cops el rellotge de l’ajuntament marca una hora palíndrom?
6 cops: 10:01, 11:11, 12:21, 13:31, 14:41, 15:51
La plaça està rodejada de columnes que aguanten els edificis.
Volem passar cordes de colors fent una trena a les columnes.
Posem una corda verda que surt del darrera de la primera columna de cantonada. Passa per davant de la següent columna, per darrera de la que segueix i així fem una trena. És a dir: pel darrera, pel davant, pel darrera, pel davant.
Posem una corda vermella per darrera de les dues primeres columnes. Passa pel davant de la tercera columna, pel darrera de les dues següents i per davant de la següent. És a dir: dues pel darrera, una pel davant, dues pel darrera, una pel davant.
Posem una corda blava per darrera de les quatre primeres columnes, pel davant de la següent, pel darrera de les quatre següents, pel davant de la següent… És a dir: pel darrera, pel darrera, pel darrera, pel darrera, pel davant, pel darrera, pel darrera, pel darrera, pel darrera pel davant…
Quines columnes tindran dues cordes pel davant, una vermella i verda?
Quines columnes tindran dues cordes pel davant, una vermella i una blava?
Quines columnes tindran dues cordes pel davant, una verda i una blava?
Quines columnes tindran tres cordes pel davant, una vermella, una verda i una blava?
Quines columnes tindran dues cordes pel davant, una verda i una vermella?
Les columnes 6, 18, 30… En general, les columnes múltiples de 6 (2 x 3).
Quines columnes tindran dues cordes pel davant, una vermella i una blava?
Les columnes 15, 45 … En general, les columnes múltiples de 15 (3 x 5) no múltiple de 2.
Quines columnes tindran dues cordes pel davant, una verda i una blava?
Les columnes 10, 20, 40… En general, les columnes múltiples de 10 (2 x 5) No múltiple de 3
Quines columnes tindran tres cordes pel davant, una vermella, una verda i una blava?
Les columnes 30, 60… En general, les columnes múltiples de 30 (2 x 3 x 5)
Rutes matemàtiques elaborades per:
Dani Alcaraz Pérez i Carme Castellano Granel
Coordinadors contingut educatiu:
Carme Aymerich Padilla i Carles Masjoan Domingo
Per fer aquesta passejada matemàtica, posem a la teva disposició una calculadora CASIO fx-85SP CW dedicada a Griselda Pascual. Aquesta reconeguda matemàtica va néixer a Barcelona, però té un vincle especial amb Tortosa, ja que hi va ser catedràtica de l’Institut d’Ensenyament Mitjà.
El retrat de Griselda Pascual ha estat realitzat per la il·lustradora i divulgadora científica Miriam Rivera.
Tortosa és el centre històric, cultural i de serveis de les Terres de l’Ebre. El seu urbanisme reflecteix segles de domini de diverses civilitzacions, amb el castell de la Suda com a punt de control estratègic del riu.
Després d’un passat marcat per la seva puixança comercial i renaixentista, la Tortosa actual és una ciutat que reivindica el seu paper com a porta d’entrada a espais naturals de primer ordre: el Delta de l’Ebre i els Ports. Avui dia, la ciutat combina la rehabilitació del seu extens patrimoni arquitectònic amb una economia creixent que aposta pel turisme sostenible i la posada en valor del seu entorn natural i fluvial únic.
