Rutes matemàtiques
Aquesta ruta us convida a explorar monuments, places i racons històrics de Tarragona, on la geometria, les proporcions, l’estadística i el càlcul prendran vida davant els vostres ulls de la mà de la reconeguda matemàtica Maria Bras Amoròs.
Per realitzar la ruta i aconseguir la vostra calculadora, cal que us adreceu a:
Calle Major, 37-39
43003 Tarragona
OT.TERRESEBRE@GENCAT.CAT
977 250 795
Com arribar-hi: Bus: 1, 3, 5 i 7
Horari d’atenció: De dilluns a divendres, de 9.30 h a 17 h i dissabtes de 10 a 14 h .
Distància: 2 km.
Desnivell: Majoritàriament pla.
Durada estimada: 30 minuts de recorregut a peu.
Època recomanada: Tot l’any.
Graus de dificultat: * Baixa | ** Mitjana | *** Alta
A continuació, les localitzacions, pistes i materials necessaris per completar l’experiència.
El Portal de Sant Antoni de Tarragona és una de les portes monumentals d’accés a la ciutat construïdes al segle XVIII. Formava part de les antigues muralles i s’obria cap al camí de Barcelona.
Es va aixecar durant el regnat de Carles III, amb un estil neoclàssic inspirat en els arcs romans. Té una gran arcada central i decoracions amb escuts i inscripcions.
Calcula l’alçada estimada, en metres, de la muralla.
Cada pedra de la muralla mesura 50 cm aproximadament.
24 pedres x 50 cm = 1 200 cm = 12 m.
Imagineu que voleu posar una porta en el portal de Sant Antoni.
Quants metres quadrats de fusta necessitaríem per construir-la?
L’àrea d’un rectangle es calcula multiplicant la llargada de la base per l’altura.
L’àrea d’un cercle es calcula multiplicant el radi al quadrat pel número PI: 3,14.
Superfície del rectangle:
Alçada: 10 pedres x 50 cm = 500 cm.
L’amplada de la porta (que és el mateix que el diàmetre de la circumferència) us ha d’haver donat 330 cm aproximadament.
500 cm x 330 cm = 165.000 cm²
Superfície de la semicircumferència:
1652 x π ÷ 2 = 42.764,93 cm²
Porta sencera:
165.000 cm² + 42.764,93 cm² = 207.784,93 cm² = 20.7784 m²
La Torre de les Monges és una torre de defensa situada a la part alta de Tarragona. Formava part de les muralles medievals que protegien la ciutat.
Es va construir al voltant del segle XIV i rep el seu nom perquè estava prop del convent de les monges clarisses. Des de dalt, es podia vigilar l’entorn i controlar els accessos a la ciutat.
Sabries descriure a el prima que forma la torre? (Quantes cares té, com són aquestes cares, quantes arestes i quants vèrtexs?
Cares: Cada un dels polígons que formen o limiten un poliedre.
Arestes: Segment que uneix dues cares.
Vèrtex: Punt on es troben 3 o més cares.
La base del prisma està formada per un polígon regular de vuit costats, un octàgon.
La torre te forma de prisma octogonal.
Té 8 cares laterals en forma de rectangle i dues bases en forma d’octàgon.
Té 16 vèrtexs i 24 arestes.
En quants triangles iguals podem dividir la base del prisma que forma la torre?
I si la base tingués un costat més?
O bé dos costats més?
Com que la torre és un octògon es pot dividir en 8 triangles.
Com que la torre és un octògon es pot dividir en 8 triangles.
Amb 9 costats es poden formar 9 triangles
Amb 10 costats podem formar 10 triangles
Compta les cares, les arestes i els vèrtex del prisma que forma la torre. Calcula el resultat de l’operació següent: cares – arestes + vèrtex.
Quin seria el resultat d’aquesta operació si el prisma fos de base heptagonal? I hexàgonal? I pentagonal? I si la base del prisma fos un polígon regular de nou costats? I de deu costats
El resultat de l’operació sempre és 2, sigui quina sigui la base del prisma.
Això ja va ser formulat per Leonhard Euler al s. XVIII.
Per exemple l’octògon: 16 (vèrtexs) + 10 (cares) – 24 (arestes) = 2
Amb 9 costat: 18 (vèrtexs) + 11 cares – 27 (arestes) = 2
Amb 10 costats: 20 (vèrtexs) + 12 (cares) – 30 (arestes) = 2
L’amfiteatre romà de Tarragona és un dels monuments més importants de l’antiga Tarraco romana. Es va construir al segle II dC, molt a prop del mar Mediterrani, i servia per celebrar lluites de gladiadors, caceres d’animals i espectacles públics.
Les seves grades de pedra podien acollir aproximadament uns 14.000 espectadors. Avui és un dels espais arqueològics més visitats de Tarragona i forma part del Patrimoni Mundial de la UNESCO.
Si observes la tanca de seguretat que hi ha a l’amfiteatre, veuràs que està formada per quadrats dividits amb triangles.
Quants triangles hi ha en cada un d’aquests quadrats?
Mira si es possible fer triangles unint dos dels quatre triangles iguals que s’observen.
Pots formar 8 triangles: 4 de senzills que trobem fent les diagonals i 4 més unint 2 triangles senzills.
La reixa és així:
La reixa és així:
Imagina que a la primera grada de l’amfiteatre hi ha 2 persones assegudes. A la segona n’hi ha el doble que a la primera, és a dir, 4. A la tercera grada, el doble que a la segona, i així successivament amb la resta de grades.
Quantes persones hi hauria a la catorzena grada? És això possible?
A la primera graderia hi ha 2¹ = 2 persones.
A la segona graderia hi ha 2² = 4 persones.
A la tercera graderia hi ha 2³ = 8 persones.
2^{14} = 16.384 persones.
No és possible donat que a l’amfiteatre de Tarragona hi cabien entre 13.000 i 15.000 espectadors.
Amb la calculadora fx-55 PLUS canvia EXE per =
La plaça de la Font és una de les places més emblemàtiques de Tarragona i té un gran valor històric. Es troba al lloc on, en temps de l’Imperi Romà, hi havia l’arena del circ de Tarraco, on se celebraven curses de carros i altres espectacles.
Al segle XIX, l’espai es va urbanitzar i es va convertir en una gran plaça allargada, envoltada d’edificis amb porxos i balcons. Avui hi trobem l’Ajuntament de Tarragona i és un punt central de la vida social, festiva i política de la ciutat.
Situat just davant de l’Ajuntament de Tarragona.
Quants elements simètrics sobre ells mateixos podries trobar?
La porta de fusta de l’ajuntament és simètrica: si hi col·loquem un mirall perpendicular al mig de la porta, obtindríem la imatge completa.
Els grans finestrals són simètrics, igual que la porta principal de fusta, els dos fanals amb cinc fanalets cadascun o les columnes d’estil jònic també són simètrics.
En observar l’ajuntament, podem identificar molts elements simètrics.
Així i tot, cal tenir en compte que, encara que la façana presenta una simetria gairebé perfecta, les diferents escultures i detalls arquitectònics en trenquen parcialment aquesta simetria.
Imagina que el rellotge de l’Ajuntament es retarda 4 minuts cada hora. Si el posem en hora a les 12 del migdia, quina hora marcarà quan hagin passat 5 hores? I quan siguin les 8 del vespre quina hora és?
Calcula quants minuts es retarda el rellotge al llarg d’aquestes cinc hores.
Com que cada hora es retarda 4 minuts, en cinc hores s’haurà retardat 5 × 4 = 20 minuts.
Per tant seran les 16:40.
Quan marqui les 20:00 seran 8×4=32 minuts.
Per tant seran les 19:28.
Situat just davant l’ajuntament, mirant-lo. A la dreta veuras que hi ha quatre cases: Una de color crema, una de color roig, una de color taronja i una altra de color blanc.
De quantes maneres diferents podem ordenar els colors de les pintures per pintar les quatre cases?
Tenim 24 opcions
Per pintar la primera casa tenim 4 opcions.
Per pintar la segona casa tenim 3 opcions (un color ja l’hem utilitzat)
Per pintar la tercera casa tenim 2 opcions (dos colors ja els hem utilitzat)
Per pintar la quarta casa només ens queda 1 opció.
Total: 4 x 3 x 2 x 1 = 24
D’axió se’n diu 4 factorial i es representa 4!
La plaça de Santiago Rusiñols una de les places més antigues i amb més encant de la Part Alta de Tarragona. Es troba dins del nucli medieval, molt a prop de la catedral.
Durant segles ha estat un espai de mercat i trobada per als habitants de la ciutat. Encara conserva el traçat irregular i les cases antigues que recorden l’aspecte de la Tarragona medieval. Avui és un racó pintoresc i ple d’història, molt visitat pels qui passegen pel centre històric.
Observa que el terra està dividit en quadrats iguals. Estima quantes persones caben dintre d’un d’aquests quadrats.
Podeu col·locar-vos diferents persones a dintre per saber quantes hi caben. Compte les persones.
A banda de peus hem de poder respirar i moure’ns per gratar-nos o eixugar-nos la suor i el nas!
Entre 25 i 30 persones.
Observa que el terra està dividint en quadrats iguals. Estima quantes persones caben dintre d’una àrea formada per tres quadrats d’amplada i cinc quadrats de llargada.
Compta quanta gent cap en un dels quadrats i multiplica pel número de quadrats total.
Considerem que en un quadrat hi caben entre 25 i 30 persones. En un espai de 3 per 5 quadrats hi caben entre 375 i 450 persones.
3 x 5 x 25 = 375
o
3 x 5 x 30 = 450
Observa que el terra està dividint en quadrats iguals. En un rectangle de 3 x 5 d’aquests quadrats, quants quadrats hi ha?
Alerta! No tots els quadrats han de ser necessàriament iguals!
Com aquest quadrat, d’1 x 1, n’hi ha 3 x 5 = 15
Com aquest quadrat, de 2 x 2, n’hi ha 2 x 4 = 8
Com aquest quadrat, de 3 x 3, n’hi ha 1 x 3 = 3
Canvia = per EXE
La catedral de Tarragona és el principal temple religiós de la ciutat i un dels edificis més destacats de Catalunya. Es va començar a construir al segle XII sobre un antic temple romà dedicat a Júpiter, i es va acabar al segle XIV.
Combina els estils romànic i gòtic, i destaca per la seva gran façana amb rosassa, el claustre i les capelles decorades. Està dedicada a Santa Tecla, patrona de Tarragona, i és un símbol de la història i la fe de la ciutat.
Observa les estàtues de pedra (apòstols i profetes) que hi ha a la façana de la catedral.
Quina fracció d’aquestes persones no porten barba? i els que tenen la barba partida en dues parts? Finalment, i els que tenen la barba completa?
Pots expressar-ho en %?
Per trobar una fracció heu de comptar quantes estatues compleixin cada condició i dividir-ho pel total d’estàtues.
estatues que compleixen la condició ÷ nombre total d’estàtues
Per calcular el percentatge, fes la divisió i multiplica el resultat per 100.
Persones que no porten barba: 2/21 (9,52%)
Persones amb la barba partida: 7/21 (33,33%)
Persones amb la barba completa: 12/21 (57,14%)
Comprova que la suma d’aquestes fraccions és igual a 1.
I, la suma de percentatges és igual al 100%.
Canvia el 2 pel 7 i pel 12 per la resta de càlculs.
Quants eixos de simetria hi veus en el rosetó de la caderal?
Hi ha 24 eixos.
Quin d’aquests dibuixos correspon al patró de repetició que conforma el rosetó.
El dibuix C, repetit diverses vegades, conforma el rosetó.
Observa les estàtues de pedra (apòstols i profetes) que hi ha a la façana de la catedral.
Si un restaurador triga 2,75 hores en netejar cada una de les escultures.
Quant trigarà en netejar-les totes? Expressa el resultat en hores, minuts i segons.
Si treballa 8 hores al dia de dilluns a divendres i el cap de setmana, descansa. Si comença la tasca un dimecres, quin dia de la setmana serà quan acabi la feina?
Recorda que en total hi ha 21 escultures, que una hora té 60 minuts i que 1 minut té 60 segons.
Hi ha 21 escultures, per tant, trigarà 2,75 x 21 =57,75h = 57h i 45 minuts.
Si treballa 8 hores al dia durant cinc dies a la setmana treballa 5 x 8= 40 hores setmanals.
57h i 45 min = 40 h + 17h + 45 min
Les 40 h equivalen a una setmana de treball (5 dies laborables)
Les 17 h equivalen a dos dies sencers (2 x 8h =16 h) i 1 hora més
Per tant, en total trigarà 1 setmana (5 dies laborables), 2 dies i 1h amb 45 minuts.
Si comença la feina en dimecres, acabarà en divendres.
Si has vist quin és el patró de repetició que genera el rosetó i has comptat quantes vegades es repeteix, sabries dir quants vidres té el rosetó?
El patró es repeteix 12 vegades. A cada un hi ha 8 vidres.
Al mig hi ha un vidre rodó.
Total: 7 x 12 + 1 = 85 vidres
Dani Alcaraz Pérez i Carme Castellano Granel
Rutes matemàtiques elaborades per:
Dani Alcaraz Pérez i Carme Castellano Granel
Coordinadors contingut educatiu:
Carme Aymerich Padilla i Carles Masjoan Domingo
Per fer aquesta ruta, posem a la teva disposició una calculadora CASIO fx-991SP
CW dedicada a una de les matemàtiques més reconegudes de Tarragona.
A la tapa d’aquesta alculadora trobaràs un retrat de Maria Bras-Amorós realitzat per la il·lustradora Carmen Segovia.
Tarragona és la ciutat catalana on el llegat de l’Imperi Romà és més visible i funcional. L’antiga capital de la Hispania Citerior manté estructures vives com l’amfiteatre i el circ, integrats plenament en l’urbanisme actual. Aquesta riquesa arqueològica, reconeguda per la UNESCO com a Patrimoni Mundial, conviu amb una realitat contemporània marcada pel seu pes com a centre logístic i portuari de la Mediterrània.
La Tarragona d’avui és una ciutat que equilibra la seva activitat industrial amb una forta identitat cultural i comercial, consolidant-se com un pol econòmic vital al sud de Catalunya que mira al futur sense perdre de vista les seves arrels clàssiques.
