Rutes matemàtiques
Aquesta ruta us convida a explorar monuments, places i racons històrics de Girona, on la geometria, les proporcions, l’estadística i el càlcul prendran vida davant els vostres ulls de la mà de la reconeguda matemàtica Maria Antònia Canals.
Per realitzar la ruta i aconseguir la vostra calculadora, cal que us adreceu a:
Rambla de la Llibertat, 1
17004, Girona
OT.GIRONA@GENCAT.CAT
972 010 001
Com arribar-hi: Bus: 1, 2, 3 i 4
Horari d’atenció: De dilluns a divendres de 9 a 19 h, dissabtes de 9 a 14 h i de 15 a 19 h i diumenge i festius de 9 a 14 h.
Distància: 2,5 km.
Desnivell: Majoritàriament pla.
Durada estimada: 35 minuts de recorregut a peu.
Època recomanada: Tot l’any.
Graus de dificultat: * Baixa | ** Mitjana | *** Alta
A continuació, les localitzacions, pistes i materials necessaris per completar l’experiència.
Aquesta atracció, que segurament desitges pujar-hi, té la forma d’un cos geomètric que és un dels anomenats sòlids platònics. Només n’hi ha cinc i es caracteritzen per tenir totes les cares i tots els angles iguals. Són poliedres regulars.
Se’ls anomena platònics perquè el matemàtic i filòsof grec Plató, que va viure al segle V aC, hi va fer referència en el seu Diàleg Timeu, com els cossos més bells i més perfectes de l’espai.
Saps el nom del cos geomètric o poliedre del qual estem parlant?
Aquest, però és una mica complicat de mirar.
Si t’hi fixes veuràs que tota l’estructura forma un sol cos geomètric i que una part d’ella està enfonsada sota terra.
Si te’l mires amb deteniment pots veure que està format per altres cossos més petits, de les mateixes característiques i nom. Veuràs que té totes les cares iguals, triangulars que s’uneixen en els vèrtexs.
És un octaedre.
Quantes cares té? I quants vèrtexs? I quantes arestes?
Com tots els octaedres té 8 cares, 6 vèrtexs i 12 arestes.
El teorema d’Euler diu que el nombre de cares més el nombre de vèrtexs d’un poliedre convex, és igual al nombre d’arestes més 2.
Es compleix en aquest cas?
Sí que es compleix: nombre cares + vèrtexs = arestes + 2
8 + 6 = 12 + 2
Has pogut esbrinar com està format per altres cossos més petits? Quants n’hi veus?
Els cossos més petits són 4 octaedres interiors.
Fixa’t en el tobogan.
Com t’ho faries per saber quant trigarien a baixar pel tobogan 100 nens, si cada nen comença a baixar quan l’anterior toca a terra?
Calcula què triga un nen a baixar pel tobogan.
Multiplica-ho per 100 nens. Per expressar el resultat en minuts divideix el resultat obtingut entre 60. El residu continuarà sent segons.
Un nen triga 2 segons a baixar. Si els 100 nens estan a punt i baixen un darrere l’altre sense perdre temps trigaran: 2 x 100 = 200 segons.
Per passar-ho a minuts ho dividim entre 60. El resultat serà minuts i el residu continuaran sent segons.
200 : 60 = 3 residu 20; 3 minuts i 20 segons.
Si el tobogan comencés a dalt de tot de l’estructura i tingués la mateixa inclinació que té el tobogan actual, quina longitud horitzontal tindria?
Fixa’t que si posem el tobogan a dalt de tot serà el triple d’alt.
Els triangles formats pel tobogan, la vertical i l’horitzontal són triangles semblants.
Com que els triangles són semblants, si l’alçada és el triple, la longitud horitzontal també ha de ser el triple, l’hagis mesurat en metres, peus, passes o amb altres mesures.
Si has mesurat la distància horitzontal del tobogan t’ha d’haver donat, aproximadament, 2,5 metres. Per tant, el triangle que comencés des de dalt de l’estructura, faria 7,5 metres: 2,5 x 3.
En aquest repte es tracta de trobar el percentatge d’inclinació d’aquest petit pendent. Et poden ajudar els dos esglaons del costat,
Cada graó fa 15 cm. Dos graons 30 cm = 0,3 metres.
La llargada del pendent és de 10 metres (aproximadament)
Si amb una llargada de 10 metres el desnivell és de 0,3 metres, amb una llargada de 100 metres el desnivell serà de 3 metres.
El desnivell és del 3%.
La bicicleta té molts vantatges i a Girona, s’està renovant i ampliant la xarxa de carrils bici perquè el ciclista es pugui moure amb tranquil·litat. Cada cop hi ha més carrils bici i circular-hi és més fàcil i segur.
A Girona hi ha una xarxa pedalable de 49,92 km.
Aparcament tancat i gratuït per a bicicletes al parc Central de Rafael Masó i Valentí.
Aquest aparcament està al costat de l’estació del tren d’alta velocitat, del tren de Rodalies i de l’estació d’autobusos interurbana.
L’aparcament és un espai tancat i amb servei de videovigilància, amb capacitat per a 82 bicicletes. Disposa d’un punt de servei mecànic per al manteniment de les bicicletes, 12 taquilles per guardar-hi les pertinences personals i un punt de connexió elèctrica.
Està disponible les 24 hores del dia dels 365 dies de l’any.
Al mòdul de l’aparcament de bicicletes hi ha un curiós embarrat de colors verds.
Si t’hi fixes bé, podràs descobrir que segueixen un patró. Quin?
El patró de repetició és: verd clar VC – verd brillant VB – verd oliva VO – verd gris VG – verd oliva VO – verd brillant VB i torna a començar.
Alerta, el verd clar VC ja forma part de la següent sèrie.
Si vols un aparcament que tingui unes mesures de 100 metres per 20 metres, quants barrots de cada color hi haurà?
El perímetre de l’aparcament seria de 100 + 100 + 20 + 20 = 240 metres o 2.400 cm.
Amb el regle del fulletó pots mesurar la mida d’un patró: de verd clar a verd clar hi ha uns 68 cm.
Dividint 2.400 cm entre 68 = 68,29. Aproximadament 68 patrons sencers i dos barrots més (els dos primers).
Per tant, hi haurà:
El patró és simètric? Què hauries de fer perquè ho fos?
No.
Per tal que el patró fos simètric s’hauria d’afegir un barrot verd clar – VC. El patró tindria 7 barrots.
Mirant el rellotge exterior de l’estació de l’AVE de Girona a la paret sud pots veure que és un rellotge de broques (agulles).
El rellotge està dividit en dotze espais corresponents a les dotze hores. Si la broca llarga fa tota la volta sencera per fer una hora, vol dir que haurà fet un recorregut de 360°.
Pots dir quants graus hi ha de separació entre número i número?
Pots dir quants graus hi ha de separació entre número i número?
Hi ha 60 números tenint en compte totes les «ratlles» que hi ha entre un nombre i el següent. La circumferència té 360°.
360 / 60=6°
Si només tenim en compte els números de les hores:
360 / 12 =30°
Quan l’hora és la de la imatge, pots dir quin angle dibuixen les seves broques? De quants graus?
L’angle que formen les dues agulles és, pràcticament, un angle pla.
Aquest angle és, aproximadament, de 180° (o una mica menys).
Quantes vegades al dia passa? Pots escriure totes les situacions en format digital.
A cada hora passa una vegada. 24 vegades al dia.
Concretament en aquestes hores: Serien: 6:00 5:55, 4:50, 3:45, 2:40, 1:35, 12:30, 11:25, 10:20, 9:15, 8:10, 7:05 am i pm.
Ara fixa’t en l’hora que marca el rellotge i digues el tipus d’angle interior que formen les broques (no calen els graus).
I l’exterior?
L’angle interior és un angle obtús.
L’angle exterior és un angle obtús.
En el primer cas l’angle també és convex i en el segon, còncau.
En un rellotge de busques com aquest, quantes vegades al dia les dues agulles principals (horària i minutera) formen un angle recte?
A cada hora hi ha 2 angles rectes. 2 x 24 = 48 angles rectes en un dia.
L’AVE arribarà a les 17:41. Ara és l’hora que marca el rellotge: 16:56. Si la velocitat mitjana és de 250 km/h, a quina distància es troba ara mateix?
El rellotge marca que són les 16:56. Per tant falten 45 minuts per a que arribi.
L’AVE arribarà d’aquí a 45 minuts
Primer passem els minuts a hores. 45 / 60 = 0.75 h. Si cada hora recorre 250 km, multipliquem 0,75 km/h x 250 km = 145. Es troba a 187,5 km de Girona.
Imagina’t que el rellotge marca les 12 en punt. Una agulla està sobre l’altra.
Quan tornarà a passar que les dues agulles tornin a estar una sobra l’altra?
L’agulla minutera es mou a una velocitat de 6°/minut. (360°/60 minuts)
L’agulla horària es mou 30 graus cada hora (360°/12=30°). Per tant, es mou a una velocitat de 30°/60 minuts = 0,5°/minut.
Es tornaran a trobar quan l’agulla horària s’hagi desplaçat uns quants graus mentre la minutera s’haurà desplaçat 360° més el que s’ha desplaçat l’horària.
Als graus que es desplaça l’agulla horària li direm A°.
El desplaçament de l’agulla minutera serà 360° + A°.
Temps que tarda la minutera a atrapar de nou l’horària: Distància /velocitat:(360° + A°)/6°
Temps que tarda l’horària fins que la minutera l’atrapa: Distància/velocitat: A°/0,5
Els dos temps són iguals:
(360° + A°)/6° = A°/0,5.
Si multipliquem el numerador i el denominador de A°/0,5 per 12 ens queda 12A°/6.
Per tant, 360° +A°/6 = 12A°/6. Si les dues fraccions són iguals, els dos numeradors són iguals.
Per tant, 360° +A° = 12A°
360°= 12 A°-A°
360° = 11 A°
A°= 360º/11= 32,72°
L’agulla horària es desplaça 32,72°
La minutera es desplaça 32,72 ° + 360° = 392,72°
Si ho expressem en minuts: cada minut són 360°/60 minuts= 6° cada minut
32,27°/ 6°= 5,37 minuts = 5 minuts i 22 segons. Cada hora i 5 minuts i 22 segons les dues agulles estan una sobre l’altra.
L’enrajolat d’espina de peix és un patró geomètric per enrajolar qualsevol tipus de terre i camins. Se l’anomena així perquè recorda l’espina d’un peix.
Els blocs poden ser rectangles o paral·lelograms. Les proporcionns són generalment 2:1 o 3:2 però no és imprescindible que guardin aquestes proporcions.
El patró en espina de peix té una simetria del tipus wallpaper. La traducció seria “simetria del paper pintat”. És un concepte matemàtic que descriu com es pot repetir un disseny en una superfície plana de manera infinita perquè quedi perfectament encaixat.
Intenta calcular la superfície d’aquest enrajolat delimitat per les franges grises, sense cap arbre a l’interior.
Fixa’t en com estan col·locades les rajoles i que n’hi ha que estan partides, però que les pots ajuntar amb d’altres i tenir unitats senceres.
Potser buscar un tros de l’enrajolat com el marcat a la imatge et pot alleugerir la feina.
Pots expressar el resultat en nombre de rajoles.
En el requadre marcat hi ha 60 rajoles: 10 fileres de 6 rajoles grans.
De llargada hi caben 4 requadres. D’amplada gairebé 3. Falten dues fileres de 24 rajoles=48 rajoles.
4 x 3 = 12 requadres. 12 x 60 = 720 rajoles.
720 – 48 = 672 rajoles
En el total hi ha 672 rajoles.
Les rajoles tenen forma rectangular. Quina relació hi ha entre el costat més llarg i el més curt d’aquests rectangles?
El costat llarg de la rajola mesura el doble que el costat més curt.
Els polígons que formen aquest enrajolat no són regulars (tenen els angles iguals però no els costats).
Si volem enrajolar amb un sol tipus de polígon regular, ens anirien bé els quadrats, els pentàgons, els hexàgons? Per què?
Pensa que a cada vèrtex on els polígons s’ajunten per fer l’enrajolat, els angles han de sumar 360°.
Els quadrats enrajolen perquè els seus angles mesures 90 graus. 4 angles de 90° fan 360°. Els triangles equilàters enrajolen perquè els seus angles mesuren 60°. 6 angles de 60° fan 360°. Els hexàgons enrajolen perquè els seus angles fan 120°. 3 angles de 120° fan també 360°.
No enrajolen, en canvi, els pentàgons. Cadascun dels seus angles mesura 108°, que no és divisor de 360 i, per tant, a cada vèrtex hi podríem posar 3 pentàgons, però sobraria un espai.
La línia de ferrocarril Olot-Girona, popularment el tren d’Olot o el Carrilet, era una línia de ferrocarril que unia les ciutats de Girona i Olot.
Actualment, és una via verda apta per a vianants i bicicletes, anomenada ruta del Carrilet I, del Consorci Vies Verdes de Girona. Era una línia de 54,8 quilòmetres de longitud en ample de via mètric (1.000 mm). Segueix les ribes dels rius Ter, Brugent i Fluvià i travessa el parc volcànic de la Garrotxa fins a arribar a Olot.
Indicacions:
Fixa’t en el disseny d’aquest jardí de palmeres al costat de l’edifici de l’estació del tren d’Olot. En primer lloc, hauràs de veure que hi falten algunes palmeres que van morir i queda el seu espai buit esperant que les reposin. Prescindeix d’aquesta anomalia i imagina que hi són totes.
Quantes palmeres hi havia quan van dissenyar el jardí?
Com estaven distribuïdes?
Quan ho van inaugurar hi havia 16 palmeres.
Amb el mateix nombre de palmeres, de quantes maneres que formin polígons podrien estar plantades?
Es poden posar de moltes formes. Aquí te’n suggerim algunes:
En forma de romboide.
En forma de rombe amb 5 arbres a cada costat (que no fan 20 arbres!!!).
En forma de rectangle de 2 x 8.
També poden estar tots 16 arbres en fila.
Ara imagina que volen fer el jardí més gran conservant la mateixa forma geomètrica que hi havia al començament.
Quantes palmeres tindrà el següent disseny? I el següent?
Si mantenim la forma geomètrica de les 16 palmeres inicials i volem posar més palmeres, n’haurem de posar 5 x 5 = 25 palmeres.
Si encara volem ampliar més posarem 6 x 6 = 36 palmeres.
Pots fer-ne una generalització? De quins nombres estem parlant?
Seguint aquesta sèrie es podrien fer servir 1.325 palmeres? Per què?
Hem de posar palmeres seguint els nombres quadrats: 16, 25, 36, 49, 64…
No podem posar 1.325 palmeres, perquè no és un nombre quadrat.
Et trobes davant l’edifici de l’estació del tren d’Olot. Aquest tren de via estreta unia les ciutats d’Olot i Girona. Era un tren de vapor i no es va electrificar mai.
Es va inaugurar el 1911 i es va clausurar el 1969 igualment que el tren de Sant Feliu de Guíxols.
Actualment els seus recorreguts són una via verda.
Fixa’t només en el fris de sobre les portes; prescindeix del fris que hi ha per sobre de les finestres.
Com pots veure està fet de trams més llargs amb rajols i trams no tan llargs amb còdols de riu.
Hauries de buscar l’estratègia per comptar el nombre de rajols que es van menester per construir-lo. Has de fer la volta a tot l’edifici i fixar-te també si tots els trams de rajols són de la mateixa llargada.
Podeu no comptar totes les fileres si us adoneu que estan intercalats els de la de baix i la de dalt, per tant no cal comptar-les, només restar.
Façana principal:
El tram de sobre el cartell és una mica més llarg (17 rajols a la línia del mig i 16 a la de dalt i 16 a la de sota) = 49 rajols.
Els altres 6 són de 15 rajols a la central, 14 a sobre i 14 a sota = 43 rajols x 6 vegades. Total: 258 rajols.
Només 4 són més curts i tenen 4 rajols a la línia del mig i 3 a sobre i 3 a sota = 10 rajols x 4 vegades. Total: 40 rajols.
Façana posterior és igual. Mateix resultat: 49 + 258 + 40
Parets laterals:
2 trams tenen 15 rajols a la línia del mig, 14 a la de dalt i 14 a la de sota = 2 x 43 = 86 rajols
2 trams tenen 4 rajoles a la línia del mig, 3 a la de dalt i 3 a la de sota = 2 x 10 = 20 rajols. Iguals als de la façana principal.
Total: 2 x (49 + 258 + 40) + 86 + 20 = 800 rajols
Com t’ho faries per calcular l’alçada de l’edifici? Podries donar una alçada aproximada.
Et proposem dues maneres de calcular l’alçada:
Primera:
Agafa un llapis, estira al màxim el braç i camina endavant o endarrere fins «encaixar» visualment el llapis amb l’arbre.
Gira el llapis (amb el braç encara estirat) fins a posar-lo horitzontal de manera que un extrem estigui al peu de l’arbre.
Demana a algú que es col·loqui al costat de l’arbre i camini en direcció a la punta del llapis fins que tu li avisis.
Quan visualment la posició de la persona coincideixi visualment amb la punta del llapis la distància entre el peu de l’arbre i la persona serà equivalent a l’altura de l’arbre.
Segona:
Fixat en les pedres de les cantonades.
Fet d’una manera o altra, hauries d’haver trobat que l’alçada aproximada és de 8 metres.
Un dia de pluja ens refugiem sota el voladís de l’entrada de l’estació.
Quina és la inclinació en què ha de caure la pluja per no mullar-nos?
Si estàs tocant la paret i l’aigua cau com la línia vermella, et mulles. Si l’aigua cau com la línia blava no et mulles.
El voladís, la vertical on acaba el teu peu i la inclinació de l’aigua formen un triangle.
Si calcules l’amplada del voladís i li restes la mida del teu peu. Després calcules l’alçada del voladís, tindràs els dos catets del triangle.
L’alçada del voladís és, aproximadament, de 4 metres.
L’amplada aproximada és de 3,40 metres. A aquesta distància hi traiem la llargada del teu peu (aproximadament 30 cm)
Tenim un triangle de catets 4 metres i 3,10 metres.
La calculadora ens permet calcula l’angle a través de la funció arctangent.
Volem calcular l’angle B (que és el mateix que l’angle A). Utilitzarem la fórmula de l’Arctangent: Catet oposat dividit per catet adjacent.
T’ha d’haver donat, aproximadament, 52, 22°
Pot ser que hagis calculat unes distàncies aproximadament diferents. Perfecte.
A la subhasta pública celebrada el 6 de gener de 1877, hi acudiren Ignasi Serrallach i Mas i La Maquinista Terrestre i Marítima, tots dos de Barcelona, i la companyia Gustave Eiffel de París, que en aquells temps també construïa altres ponts per a diferents línies ferroviàries de la península. Aquesta darrera fou la guanyadora. S’hi instal·laren uns fanals obsequi de la constructora. Amb el temps el terra d’asfalt va deteriorar l’estructura per això l’any 1979 s’hi substituí el paviment per un de roure i es reforçà l’estructura malmesa per la humitat.
Els laterals del pont estan formats per rombes o per quadrats?
El que veiem són quadrats, tot i que un costat no està a la «base». Són quadrilàters amb els 4 angles rectes.
Pots calcular la llargada i l’amplada del pont?
El pont fa 41,5 metres de llarg i 2,62 metres d’ample.
T’hi has apropat?
Quantes persones hi poden caber, al llarg del pont?
No cal que estiguin «apilotades» entre elles, que puguin respirar!!!
Aproximadament en 2 metres de pont hi caben 20 persones (4 d’ample i 5 de llarg).
El pont fa, aproximadament, 41,5 metres. Hi caben gairebé 21 vegades 20 persones.
Total: 420 persones.
Has calculat un nombre semblant de persones?
El pont va costar 22.500 pessetes. En aquella època es pagava amb monedes d’or de 25 pessetes de 8,06 grams d’or. Actualment un gram d’or val 133,52 €.
Quant costaria avui construir el pont?
Hi ha diversos camins per trobar la solució. Te’n proposem un:
Calculem quantes monedes de 25 pessetes va costar el pont:
25.000 pessetes ÷ 25 pessetes = 1.000 monedes.
Si cada moneda era de 8,06 grams, el pont va costar 8.060 grams d’or (1.000 x 8,06)
Al preu actual de l’or és de 133,52 € el gram:
8.060 x 133,52 = 1.076.171,2 €
És la parròquia del Mercadal.
L’església de culte catòlic és dels segles XIV i XV. Just al seu costat hi ha el Museu del cinema.
Té el seu origen a l’època gòtica, però segurament la parròquia és del segle XI.
La façana de maons té una rosassa circular que fa de contrast a la sobrietat tant a l’exterior com a l’interior.
Si el marc d’aquesta finestra fos un rectangle, en comptes de la forma retallada pels costats que té ara, el perímetre seria més gran o més petit?
El perímetre seria igual.
Fixa’t que podem desplaçar els costats negres cap als costats vermells i obtenim un rectangle amb el mateix perímetre.
Calcula el perímetre i l’àrea del triangle de la part superior d’aquestes pilones.
La mesura dels costats d’aquest triangle costa que sigui precisa, perquè les cantonades no són ben escairades (no formen un angle recte).
Per això els càlculs han de ser aproximats.
Per calcular el perímetre multipliquem la mesura d’un costat per 3, ja que els tres costst són iguals. Són triangles equilàters.
48 x 3 = 144 cm
Per calcular l’àrea primer hem de mesurar l’alçada d’aquest triangle:
L’alçada és de 41 cm.
Àrea o superfície:
41 x 48 ÷ 2 = 984 cm2
I ara sabries calcular el volum d’aquestes pilones?
Si ja has calculat la superfície del triangle de la base de dalt, només et cal multiplicar per l’alçada que és, aproximadament, de 57 cm.
984 cm2 x 57 cm = 56.088 cm3
Sabries calcular l’alçada del campanar?
Et proposem dues maneres de calcular l’alçada aproximada del campanar.
Primera:
a) Amb el braç ben estirat i el llapis vertical acostat o allunyant del campanar fins que el llapis «toqui» la part de dalt i la de baix del campanar.
b) Sense moure’t del lloc, posat el llapis horitzontal de manera que una punta «toqui» la base del campanar.
c) Demana a un company que camini al costat del campanar fins que el vegis a l’altre punta del llapis i demana-li les passes que ha recorregut. Si fa passes d’un metre, aquesta és l’alçada del campanar.
Segona:
a) Posa un mirall a terra a certa distància del campanar (pots fer servir l’opció de «mirall» del mòbil).
b) Desplaça’t endavant o endarrere fins que vegis la punta del campanar des del mirall.
c) Has creat dos triangles semblants. És a dir:
La distància del mirall al campanar i l’alçada del campanar estan a la mateixa proporció que la distància a la qual et trobes del mirall i la teva alçada.
D’això resulta que:
\frac{Distància Campanar-Mirall}{Alçada Del Campanar} = \frac{Distància Tu – Mirall}{La Teva Alçada/h}
Ho hagis fet amb un sistema o l’altre, o un que hagis pensat tu, deus haver trobat que l’alçada aproximada del campanar és de 28 metres.
Per entrar a l’església pots fer servir les escales o pujar per la rampa.
Quin és el pendent (percentatge) de la inclinació de la rampa?
Per trobar el percentatge d’inclinació divideix l’alçada de l’escala per la longitud de la rampa i multiplica el resultat per 100.
La mida dels graons és de 15,5 cm i la longitud de la rampa és de 6 metres, aproximadament.
(15,5 x 3 / 600) x 100 = 7,75 %
La inclinació màxima de les rampes en espais públics a Catalunya es regula per assegurar l’accessibilitat, segons el Codi d’Accessibilitat de Catalunya i el CTE. El pendent depèn de la longitud: màxim 10% (per a longituds <3m), 8% (<6m) i 6% (per a la resta de casos).
És una plaça pública de Girona en la confluència dels antics camins de Barcelona i de Sant Feliu de Guíxols. Presenta una planta rectangular amb edificis de caràcter senyorial al seu entorn. Són remarcables els porxos amb arcs de mig punt que ocupen dues bandes del conjunt, construïdes bàsicament amb carreus. Les façanes presenten balcons amb baranes de ferro forjat. Acabats exteriors amb carreus i arrebossat. El conjunt de l’obra forma part de l’Inventari del Patrimoni Arquitectònic de Catalunya.
El nom de la plaça del Vi sembla que ja era conegut l’any 1584. L’any 1343 es coneixia per la plaça de les Albergueries. Tradicionalment, des del s. XV havia estat lloc de residència de famílies nobles. Dels edificis existents citem l’Ajuntament, que ha sofert moltes transformacions.
Busca l’edifici de la fotografia.
Veus que té una sanefa amb rectangles dividits en 4 triangles. 3 d’aquests triangles són llisos i 1 està ratllat. Però els 4 triangles són iguals?
Quina proporció representa la part ratllada respecte al rectangle?
Fixat que si dividim els 4 triangles per la meitat obtenim 8 triangles iguals.
Per tant, el 4 triangles originals tenen la mateixa superfície.
El triangle ratllat és 1/4 del rectangle.
Dins l’ajuntament hi ha un arc amb un escut al mig. Aquest tipus d’arcs s’anomenen: arcs de mig punt.
En canvi, l’arc que hi ha a la dreta s’anomena arc de carpanell. Les pedres que formen l’arc de mig punt, quin angle formen per la part inferior? I per la part superior?
L’angle que formen per la part interior per la part exterior és el mateix.
Fixa’t que l’arc està format per 16 pedres iguals i una, la central, que és el doble de les altres. Per tant, l’arc de 180° (mitja circumferència) el podem dividir en 18 parts.
180° ÷ 18 parts = 10° cada part.
16 pedres mesuren 10° cada una i una pedra, la central, mesura 20°.
La plaça del Vi és plaça castellera. Normalment en una jornada castellera es reuneixen 3 colles castelleres.
Si cada colla castellera ocupa un 15% de la plaça, quin espai queda per al públic?
Si hi ha 3 colles i cada colla ocupa un 15% de la plaça, entre les 3 ocupen un 45% de la plaça.
Per al públic queda el 55% restant.
I quant públic pot estar veient l’actuació castellera?
Aquí hem de fer algunes consideracions prèvies. Quanta gent hi cap en un m2? Quants metres quadrats mesura la plaça?
Nosaltres hem considerat que en un m2 hi caben 4 persones i que la plaça, sense comptar sota els porxos, mesura uns 800 m2.
El 55 % de 800 m² és 440 m². Per 4 persones per m² tenim que hi pot haver 1.760 persones.
Fixa’t en l’arc que dona al pati de l’Ajuntament.
Quantes circumferències el formen?
Preguntant-ho d’una altra manera, quants centres de circumferència necessitem per dibuixar aquest arc?
Aquest arc, que rep el nom de carpanell, està format per arcs de 3 circumferències.
A la fotografia hem marcat els 3 centres de circumferència.
L’Oficina de Turisme de Catalunya a Girona està situada a la Rambla de la Llibertat, 1. En aquest punt s’ofereix informació turística al públic, especialment en períodes de major afluència de visitants
Mira la façana de l’Oficina de turisme.
Quins elements trenquen la simetria?
La façana és totalment simètrica.
Només trenquen aquesta simetria els cartells i les rampes d’accés.
El monument a Carles Rahola ens indica que va néixer el 1881 i que va morir el 1939.
Combinant les xifres 1881 quants números podem formar? I quin és el més gran i quin el més petit.
Fem el mateix amb les xifres 1939.
Si les 4 xifres fossin diferents tenim 4 opcions de la primera xifra. Per cada una d’aquestes opcions en tenim 3 per la segona xifra, 2 per la tercera i 1 per la quarta. Total: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 opcions.
En el primer cas tenim dos 8, tenim la meitat d’opcions: 12.
I com que tenim dos 1, tornem a tenir la meitat d’opcions: 6. Amb les xifres 1881 poden formar 6 números.
En el segon cas (1939) només tenim una xifra repetida. Hem de fer la meitat de les 24 opcions que tenim: 12.
Amb les xifres 1881 el número més gran és 8811 i el més petit 1188.
Amb les xifres 1939 el número més gran és 9931 i el més petit 1399.
Dels números que has obtingut amb les xifres 1881, quants són múltiples de 2, quants múltiple de 3, de 9 i d’11?
Dels números que has obtingut amb les xifres 1881:
La meitat acaba en 8. Hi ha 3 múltiple de 2.
La suma de totes les xifres suma 18. Per tant, tots els números són múltiples de 3 i de 9.
Si hi ha dos 8 seguits, o dos 1 seguits, el número serà múltiple d’11. Si els 8 estan seguits un estarà en posició parell i l’altre en posició senar, iguals que els 1. Per tant, la suma de les xifres en posició parell serà igual a la suma de les xifres en posició senar.
Hi ha 4 números múltiples d’11.
Al capdamunt de la rambla de davant de l’oficina de turisme hi ha un fanal (el de la fotografia).
Quants plans de simetria té?
El fanal té 4 plans de simetria.
El forat de la finestra lateral de l’oficina i el forat de la porta d’entrada, tenen la mateixa proporció. És a dir, la relació entre l’amplada i l’alçada és la mateixa?
Et proposem que et posis davant dels ulls un carnet d’identitat o una targeta bancària. Posa’t davant de la finestra i mou-te endavant i endarrere fins que la targeta tapi tot el forat de la finestra.
Fes el mateix davant de la porta.
Proporcionalment, la porta és més alta que la finestra.
A la casa de la fotografia, que està a l’altra banda del carrer respecte a l’oficina, per Temps de Flors han pensat posar un ram de flors grogues, un ram de flors vermelles i un ram de flors blanques al davant de cada porta del balcó.
Però no s’han posat d’acord en quin ordre posaran els rams.
De quantes maneres pot estar decorada la façana?
A cada balcó hi ha 6 maneres diferents de posar els rams.
Total 6 opcions per balcó.
Com que hi ha 4 balcons: 4 x 6 = 24 opcions.
Un magnífic edifici barroc del segle XVII, situat al cor de Girona, entre l’avinguda Jaume I i la Plaça Catalunya, arrecerat de les antigues muralles de la ciutat.
L’edifici és de caràcter civil i era destinat a les funcions hospitalàries i caritatives des dels seus inicis, de la segona meitat del XVII, fins al 2004, any del seu tancament definitiu. Des del 2010 és la seu de la Generalitat a les comarques gironines. El 2013 el Govern declara Bé Cultural d’Interès Nacional (BCIN) l’antic Hospital de Santa Caterina.
El 16 de maig de 1666 el bisbe Ninot col·locava la primera pedra i al cap d’un any s’habilitaven les primeres sales; del 1678 hi ha notícies de l’acabament d’obres a la Farmàcia -encara avui conservada i considerada una joia històrica del barroc- i el 28 de desembre de 1679, s’inaugurava la capella annexa.
Durant el segle XIX i XX cal destacar els canvis i transformacions a l’interior de l’edifici, constants fins a l’actualitat degut a la seva utilització com a Hospital: el 1933 es va restaurar la sala de la maternitat, i el president Francesc Macià inaugurà una clínica per a la infància i anys més tard s’habilità una bugaderia, un cosidor, planxador, una cuina nova per un hospital que en aquell moment comptava amb 408 llits.
La façana
La façana es va edificar als segles XVII i XVIII seguint les tendències barroques. Dividida en tres cossos corresponents a la Capella, l’Hospital i la Casa de la Convalescència. Construïda amb pedra de Girona, la portalada de l’Hospital està emmarcada amb pilastres dobles que sostenen una llinda treballada amb decoracions classicitzants. Al damunt es troba una fornícula buida flanquejada per ornamentacions geometritzades. Dalt de tot una galeria de solana amb 25 finestres arrenglerades, que permetien una millor circulació i renovació de l’aire, i un coronament que remata l’obra.
La façana de La Casa de Cultura està dividida en 12 parts pràcticament de mida igual. Unes tenen la part decorada amb el grafisme de l’escut de Girona i altres tenen les parets llises.
Quina fracció té les parets llises i quina decorades?
De les 12 parts de la façana 8 són llises i 4 decorades. Per tant:
Llises: 8/12 = 4/6 = 2/3
Decorades: 4/12 = 2/6 = 1/3
A l’entrada de l’hospital, a terra, hi ha aquest mosaic.
Quin dibuix representa el mínim patró de repetició que genera tota la roda dentada?
A
B
C
D
Tant la C i la D són patrons que generen tota la roda dentada.
A la D li falta un trosset.
Algunes finestres de l’Hospital estan protegides per reixes.
A la part frontal d’aquestes reixes, quants quadrats hi ha?
Et demanem quants quadrats hi ha. Pot ser que no tots siguin de la mateixa mida!
Hi ha 12 quadrats a la línia horitzontal i 15 quadrats a la línia vertical.
Això fa que quadrats d’1 x 1 n’hi hagi: 12 x 15 = 180.
Però també hi ha quadrats de 2 x 2. Un menys a la línia horitzontal i un menys a la línia vertical.
Això fa que hi hagi 11 x 14 quadrats de 2 x 2: 11 x 15 = 154.
Seguim:
De 3 x 3 n’hi ha: 10 x 13 = 130
De 4 x 4 n’hi ha: 9 x 12 = 108
De 5 x 5 n’hi ha: 8 x 11 = 88
De 6 x 6 n’hi ha: 7 x 10 = 70
De 7 x 7 n’hi ha: 6 x 9 = 63
De 8 x 8 n’hi ha 5 x 8 = 40
De 9 x 9 n’hi ha 4 x 7 = 28
De 10 x 10 n’hi ha 3 x 6 = 18
D’11 x 11 n’hi ha 2 x 5 = 10
De 12 x 12 n’hi ha 1 x 4 = 4
Total: 884 quadrats.
A les finestres de la part de dalt de l’Hospital, per Temps de Flors, posen:
Un ram de flors grogues cada 2 finestres.
Un ram de flors vermelles cada 3 finestres.
Un ram de flors blanques cada 5 finestres.
A quines finestres hi haurà rams grocs i vermells?
A quines finestres hi haurà rams grocs i blancs?
A quines finestres hi haurà rams vermells i blancs?
Quantes finestres hauria de tenir l’Hospital perquè hi hagués els tres rams a la mateixa finestra?
Hi haurà rams grocs i vermells a les finestres múltiples de 2 i de 3. És a dir a les finestres: 6, 12, 18 i 24.
Hi haurà rams grocs i blancs a les finestres múltiples de 2 i de 5. És a dir a les finestres: 10, 15, 20.
Hi haurà rams vermells i blancs a les finestres múltiples de 3 i de 5. És a dir a la finestra 15.
Perquè hi hagi els tres rams hi hauria d’haver, com a mínim 30 finestres. Múltiple de 2, 3 i 5.
Rutes matemàtiques elaborades per:
Dolors Rubirola Sitjas amb la col.laboració de Pau Sust i Fàtima Romero.
Coordinadors contingut educatiu:
Carme Aymerich Padilla i Carles Masjoan Domingo
Per fer aquesta ruta, posem a la teva disposició una calculadora CASIO fx-991SP CW dedicada a M. Antònia Canals. Aquesta reconeguda mestra i matemàtica va néixer a Barcelona però té un vincle especial amb Girona, ja que va impartir classes a la Universitat de Girona i al 2021 aquesta institució va crear la Càtedra de Didàctica de les Matemàtiques M. Antònia Canals.
El retrat de Maria Antònia Canals ha estat realitzat per la il·lustradora Manuela López, més coneguda com Srta. M.
Girona destaca per un nucli històric excepcional que reflecteix l’esplendor de la Catalunya medieval. El seu call jueu, un dels millors conservats d’Europa, i la seva atmòsfera medieval han convertit la ciutat en un centre d’interès internacional.
Avui dia, Girona ha sabut evolucionar cap a un referent de qualitat de vida i cosmopolitisme. La ciutat ha integrat el seu passat i el seu paisatge fluvial en una trama urbana moderna i oberta, amb una gran oferta comercial, i amb el dinamisme que li atorga la Universitat, mantenint una escala humana i un gran equilibri entre patrimoni i modernitat.
